I have got the answer :D

Bién... después de mucho averiguar en internet creo que:

Decir haven't got o hasn't got es igual que decir don't have o doesn't have, pero la primera es "la forma más británica" y la segunda "la forma norteamericana".
Así, en el inglés británico, para formar oraciones negativas e interrogativas usamos sólo el verbo to have:

Have you got any pet?
No, I haven't.

Mientras que en el inglés norteamericanoes, el verbo to have es auxiliado por el verbo to do:

Do you have a pet?
No, I don't have.

También confirmé que el haven't solo, se usa como 'haber', por ejemplo: I haven't said that. No he dicho eso.
Por ahí leí que el haven't solo también es usado como 'tener' pero es un poco anticuado y ya casi no se usa, pero que aun pervive en oraciones en las que hablamos de poseer algo abstracto, por ejemplo: I haven't a clue. No tengo ni idea.

Pero preferiré usar haven't got para referirme a 'tener' y haven't para 'haber'. Y solo usaré el don't have cuando se trate de responder una pregunta que haya sido formulada de ese modo: Do you have a pet? No, I don't have. Creo que es importante responder según sea el modo de la pregunta.

Jajajaja que fácil, parece que me estaba ahogando en un vaso de agua :)

Aunque sí me quedo la duda con respecto a have no. No conseguí averiguar más, sólo me encontré con algunas oraciones que hacían la siguiente diferencia entre have no y haven't got o don't have:

I have no question.

I haven't got (o I don't have) any (o a) question.

I have no idea.

I haven't got (o I don't have) any (o an) idea.

Pero creo que puedo vivir con eso :)